Theoreme de Pythagore — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire

Le theoreme de Pythagore est l'un des theoremes les plus celebres des mathematiques. En 3eme, il est consolide depuis la 4eme et sert de base pour calculer des distances dans tous les contextes possibles — toujours au brevet.

Enonce du theoreme de Pythagore

Dans un triangle rectangle en A :

BC² = AB² + AC²

(Le carre de l'hypotenuse est egal a la somme des carres des deux autres cotes.)

• BC est l'hypotenuse (cote oppose a l'angle droit, le plus long cote)
• AB et AC sont les cotes de l'angle droit

Calculer la longueur de l'hypotenuse

Exemple : triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm.

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

BC = √100 = 10 cm

Calculer un cote de l'angle droit

Exemple : triangle rectangle en A avec BC = 13 cm et AB = 5 cm. Trouver AC.

BC² = AB² + AC²

13² = 5² + AC²

169 = 25 + AC²

AC² = 144

AC = √144 = 12 cm

Reciproque du theoreme de Pythagore

La reciproque permet de verifier si un triangle est rectangle.

Si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple : triangle avec cotes 9 cm, 12 cm, 15 cm.

• Hypotenuse candidate : 15 cm (le plus grand)
• 15² = 225 ; 9² + 12² = 81 + 144 = 225
• 225 = 225 → triangle rectangle ✓

Exemple negatif : cotes 5, 7, 9 cm.

• 9² = 81 ; 5² + 7² = 25 + 49 = 74
• 81 ≠ 74 → pas un triangle rectangle

Cas particuliers utiles

Triplets pythagoriciens (a connaitre par coeur) :

• 3, 4, 5 (et multiples : 6-8-10, 9-12-15...)
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17

Application : distance entre deux points

Dans un repere, la distance entre A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) :

AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

Exemple : A(1, 2) et B(4, 6).

AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unites

Exercice type brevet

Un rectangle ABCD a AB = 7 cm et BC = 24 cm. Calculer la diagonale AC.

Dans le triangle ABC rectangle en B :

AC² = AB² + BC² = 49 + 576 = 625

AC = √625 = 25 cm

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