Reperage et coordonnees — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
Le reperage dans le plan est un outil central pour la geometrie analytique. Il permet de travailler avec des formules plutot qu'avec la regle et le compas — une approche qui se generalise au lycee.
Le repere cartesien
Un repere orthogonal est defini par :
- Une origine O
- Un axe des abscisses (horizontal, axe x)
- Un axe des ordonnees (vertical, axe y)
Un point A dans ce repere a des coordonnees (x_A, y_A) aussi notees A(x_A ; y_A).
Lecture d'un graphe : pour lire les coordonnees d'un point, tracer des perpendiculaires aux deux axes depuis ce point.
Milieu d'un segment
Le milieu M du segment [AB] avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) :
M = ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2)
Exemple : A(2, 6) et B(8, 2)
M = ((2+8)/2 ; (6+2)/2) = (5 ; 4)
Distance entre deux points
La distance AB entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) :
AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²]
C'est l'application directe de Pythagore dans le plan.
Exemple : A(1, 1) et B(4, 5)
AB = √[(4-1)² + (5-1)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unites
Droites dans le repere
L'equation d'une droite s'ecrit : y = ax + b
- a = coefficient directeur (pente)
- b = ordonnee a l'origine (valeur de y quand x = 0)
Trouver l'equation d'une droite passant par A(1, 3) et B(3, 7) :
a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2
b : utiliser un point → 3 = 2(1) + b → b = 1
Equation : y = 2x + 1
Vecteurs (introduction)
Un vecteur est caracterise par une direction, un sens et une norme (longueur).
Le vecteur AB a pour coordonnees : (x_B - x_A ; y_B - y_A)
Exemple : A(1, 3) et B(4, 7)
Vecteur AB = (4-1 ; 7-3) = (3 ; 4)
Norme (longueur) : ||AB|| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Exercice type brevet
ABCD est un quadrilatere avec A(0, 0), B(4, 0), C(5, 3), D(1, 3).
- Calculer le milieu de [AC] : M = ((0+5)/2 ; (0+3)/2) = (2,5 ; 1,5)
- Calculer AB et DC :
AB = √[(4-0)² + (0-0)²] = 4
DC = √[(5-1)² + (3-3)²] = 4
- Calculer AD et BC :
AD = √[(1-0)² + (3-0)²] = √10
BC = √[(5-4)² + (3-0)²] = √10
AB = DC et AD = BC → ABCD est un parallelogramme
---
Précepteur Scolaire prepare ton enfant au brevet en lui envoyant chaque soir les bons exercices au bon moment. Essai gratuit sur [precepteur.net](https://precepteur.net).