La proportionnalite et les pourcentages en 4eme
La proportionnalite est l'une des notions les plus utiles en mathematiques parce qu'elle est partout dans la vie reelle : prix unitaire, vitesse, recettes de cuisine, echelles de cartes, pourcentages de remise. Maitriser ce chapitre en 4eme, c'est aussi maitriser beaucoup de situations concretes.
Qu'est-ce que la proportionnalite ?
Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport entre elles est constant.
Dans un tableau de proportionnalite :
| x | 2 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 15 | 24 | 30 |
Rapport y/x : 6/2 = 3, 15/5 = 3, 24/8 = 3, 30/10 = 3 → constant = 3.
Ce nombre 3 est le coefficient de proportionnalite.
On a : y = k × x (ici y = 3x)
Reconnaître une situation de proportionnalite
Tests pour identifier la proportionnalite :
- Test du rapport : les rapports y/x sont-ils tous egaux ?
- Test de la somme : y1 + y2 correspond-il a k × (x1 + x2) ?
- Test de la proportionnalite a zero : si x = 0, alors y = 0 (la droite passe par l'origine)
Contre-exemple : un conducteur roule a 90 km/h et s'arrete au bout de t heures. La distance et le temps sont proportionnels. Mais si on ajoute un arret de 30 minutes, la relation change.
La regle de trois (produit en croix)
Technique classique pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalite.
Si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
Exemple : 3 stylos content 2.40 EUR. Combien content 7 stylos ?
3 / 2.40 = 7 / x
x = 7 × 2.40 / 3 = 16.8 / 3 = 5.60 EUR
Les pourcentages
p% de a = p/100 × a
Exemples :
- 20% de 80 = 20/100 × 80 = 16
- 15% de 200 = 0.15 × 200 = 30
Augmentation de p%
Nouveau prix = prix initial × (1 + p/100)
Exemple : un velo de 350 EUR augmente de 10%.
Nouveau prix = 350 × 1.10 = 385 EUR
Diminution de p% (remise, reduction)
Nouveau prix = prix initial × (1 - p/100)
Exemple : un velo de 350 EUR avec une remise de 20%.
Nouveau prix = 350 × 0.80 = 280 EUR
Calculer un taux de variation
Taux = (valeur finale - valeur initiale) / valeur initiale × 100
Exemple : prix passe de 50 a 65 EUR.
Taux = (65 - 50) / 50 × 100 = 15/50 × 100 = 30% d'augmentation
Vitesse, distance, temps
Relation de proportionnalite classique : d = v × t
- d = distance en km
- v = vitesse en km/h
- t = temps en h
Exemple : a 80 km/h pendant 2h30 :
t = 2.5 h
d = 80 × 2.5 = 200 km
Echelles
Une echelle est un coefficient de proportionnalite entre la carte et la realite.
Echelle 1/50 000 : 1 cm sur la carte = 50 000 cm = 500 m dans la realite.
Exemple : deux villes sont a 3.5 cm sur une carte au 1/50 000.
Distance reelle = 3.5 × 50 000 = 175 000 cm = 1 750 m = 1.75 km
Exercices types
Exercice 1 : Un cycliste parcourt 60 km en 2h. Combien de km parcourt-il en 5h ?
60/2 = k = 30. Distance = 30 × 5 = 150 km
Exercice 2 : Un article coute 84 EUR apres une remise de 30%. Quel etait son prix initial ?
Prix initial × 0.70 = 84 → prix initial = 84 / 0.70 = 120 EUR
Exercice 3 : Un capital de 2 000 EUR est place a 4% par an. Quel est le montant des interets la premiere annee ?
Interets = 2000 × 0.04 = 80 EUR
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