Le calcul litteral en 4eme — developper et factoriser
Le calcul litteral, c'est calculer avec des lettres. En 4eme, on apprend a developper et factoriser des expressions. Ces techniques sont la base de l'algebre et des equations. Un eleve qui les maitrise en 4eme aborde la 3eme avec une vraie avance.
Pourquoi utiliser des lettres ?
Les lettres (x, a, n...) representent des nombres inconnus ou des nombres qui peuvent prendre plusieurs valeurs. Travailler avec des lettres permet d'ecrire des regles generales et de resoudre des problemes.
La distributivite simple
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a - b) = k × a - k × b
Exemples :
3(x + 5) = 3x + 15
-2(4x - 7) = -8x + 14
x(x + 2) = x² + 2x
Attention aux signes quand le facteur est negatif : chaque terme change de signe.
La double distributivite (developpement d'un produit de deux sommes)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Methode : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
Exemple : (x + 3)(x - 2)
= x×x + x×(-2) + 3×x + 3×(-2)
= x² - 2x + 3x - 6
= x² + x - 6
Exemple 2 : (2x - 1)(3x + 4)
= 6x² + 8x - 3x - 4
= 6x² + 5x - 4
Les identites remarquables (a connaitre en 3eme)
En 4eme, on commence a les rencontrer. En 3eme, elles sont obligatoires :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b² (difference de carres)
Reduction d'une expression
Reduire une expression, c'est regrouper les termes semblables (meme lettre, meme degre).
Exemple : 3x + 5 - x + 2 + 4x
Termes en x : 3x - x + 4x = 6x
Termes constants : 5 + 2 = 7
Resultat : 6x + 7
Exemple 2 : 2x² + 3x - x² + 5x - 1
= (2x² - x²) + (3x + 5x) - 1
= x² + 8x - 1
La factorisation
Factoriser, c'est ecrire une expression comme un produit de facteurs. C'est l'operation inverse du developpement.
Methode : chercher le facteur commun.
Exemple : 3x + 15
Facteur commun : 3
3x + 15 = 3(x + 5)
Verification : 3(x + 5) = 3x + 15. Correct.
Exemple 2 : 6x² - 9x
Facteur commun : 3x
6x² - 9x = 3x(2x - 3)
Verification : 3x(2x - 3) = 6x² - 9x. Correct.
Exemple 3 : x(x + 1) + 3(x + 1)
Facteur commun : (x + 1)
= (x + 1)(x + 3)
Developpement puis reduction : methode complete
Exemples complets :
(x + 4)(x - 1) - 2(x + 3)
= x² - x + 4x - 4 - 2x - 6
= x² + x - 10
5(2x - 3) - (x - 2)(x + 2)
= 10x - 15 - (x² - 4) [identite remarquable]
= 10x - 15 - x² + 4
= -x² + 10x - 11
Exercices types
Exercice 1 : Developpe et reduis.
(x - 3)(x + 5) = x² + 5x - 3x - 15 = x² + 2x - 15
Exercice 2 : Factorise.
12x² + 8x = 4x(3x + 2)
Exercice 3 : Developpe et reduis.
3(x + 2)² - (x + 2)(x - 1)
= 3(x² + 4x + 4) - (x² - x + 2x - 2)
= 3x² + 12x + 12 - x² - x + 2
= 2x² + 11x + 14
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