Arithmetique et fractions — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
L'arithmetique et les fractions sont deux piliers du programme de mathematiques en 3eme. Ces notions sont systematiquement au programme du brevet des colleges — maitriser ce chapitre, c'est s'assurer des points solides le jour J.
Multiples et diviseurs
Un entier b est diviseur de a si la division de a par b tombe juste (reste nul). On dit aussi que a est un multiple de b.
Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Criteres de divisibilite a connaitre :
- Par 2 : le chiffre des unites est pair (0, 2, 4, 6, 8)
- Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3
- Par 5 : le chiffre des unites est 0 ou 5
- Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier superieur a 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-meme. Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
La decomposition en facteurs premiers consiste a ecrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
PGCD et PPCM
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux.
Methode : algorithme d'Euclide
- PGCD(48, 18) : 48 = 2 × 18 + 12 → 18 = 1 × 12 + 6 → 12 = 2 × 6 + 0 → PGCD = 6
Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit entier multiple des deux.
Formule : PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)
Exemple : PPCM(48, 18) = (48 × 18) / 6 = 144
Operations sur les fractions
Addition et soustraction
Mettre au meme denominateur (utiliser le PPCM).
Exemple : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Multiplication
Multiplier numerateurs entre eux, denominateurs entre eux.
Exemple : (2/3) × (5/7) = 10/21
Division
Multiplier par l'inverse du diviseur.
Exemple : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6
Simplification
Une fraction est irreductible quand son PGCD vaut 1. Pour simplifier : diviser numerateur et denominateur par leur PGCD.
Exemple : 18/24 → PGCD(18, 24) = 6 → 3/4
Exercices types au brevet
Exercice 1 : Decomposer 84 en facteurs premiers.
84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Exercice 2 : Calculer et simplifier 5/6 + 3/8.
PPCM(6, 8) = 24 → 20/24 + 9/24 = 29/24 (deja irreductible)
Exercice 3 : Montrer que 3/5 ÷ 9/10 = 2/3.
(3/5) × (10/9) = 30/45 = 2/3 ✓
Erreurs frequentes
- Oublier de simplifier la fraction finale
- Confondre PGCD et PPCM
- Additionner directement les denominateurs (ex : 1/2 + 1/3 = 2/5 — FAUX)
Revis ces formules la veille du controle. Les fractions reviennent dans de nombreux autres chapitres : probabilites, proportionnalite, trigonometrie.
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